GEOMETRÍA PLANA

ANGULO

Un ángulo plano como la inclinación recíproca, en un plano, de dos rectas que se encuentran entre sí y no son rectas entre sí. Según Proclus, un ángulo debe ser una cualidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemo, que consideraba un ángulo como una desviación de una línea recta; el segundo por Carpo de Antioquía, que lo consideraba como el intervalo o espacio entre las líneas que se cruzan; Euclides adoptó el tercer concepto.


    Ángulo adyacente
Un ángulo adyacente es aquel que comparte con otro ángulo un vértice y un lado en común, es decir, se trata de ángulos consecutivos. A su vez, ambos ángulos son suplementarios, es decir, forman un ángulo llano de 180º (grados sexagesimales) o π radianes.

En simple, dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y suplementarios al mismo tiempo o, visto de otro modo, se trata de una categoría particular de ángulos consecutivos.

Vale observar además que aquellos lados que los ángulos adyacentes no tienen en común son dos semirrectas que van en direcciones opuestas. Es decir, viendo la imagen inferior (donde ∝ y β son adyacentes), ambas semirrectas parten del punto B, pero una pasa por el punto A y la otra por el punto D.

    Ángulo obtusos 
Si la amplitud es mayor de 90º (90 grados) y menor de 180º (180 grados) se dice que es un ángulo obtuso.

Un ángulo obtuso también se define como el ángulo que se forma cuando una semirrecta gira entre 90º y 180º sobre un punto.
                        -Ángulo de 120°

    Ángulo recto
El ángulo recto es aquel formado por dos rectas perpendiculares entre sí, siendo una vertical y la otra horizontal. Así, su medida es de 90º o π/2 radianes.

Visto de otro modo, cuando una recta está encima de otra y se forman dos ángulos adyacentes iguales que suman un ángulo llano (180º), cada uno de estos ángulos contiguos es recto. De una manera similar lo explica el matemático griego Euclides.

Cabe señalar además que un ángulo recto es igual a un ángulo perigonal o completo (de 360º) dividido en cuatro partes iguales.

    Ángulo agudos
El ángulo agudo es aquel arco que se forma a partir de la unión de dos rectas que mide menos de 90º o π/2 radianes.

Un ángulo agudo es entones aquel mide menos que un ángulo recto. Así, la rectas que lo forman no son perpendiculares.

El ángulo agudo es el espacio entre dos rectas que comparten un mismo vértice cuya inclinación o apertura es mayor que 0 grados (0°) y menor que 90 grados (90°).

    Ángulo complementario 
Los ángulos complementarios son aquellos ángulos que juntos suman 90 grados o 90º.
Lo anterior lo podemos observar en la siguiente imagen, donde α y β son ángulos complementarios (57º+33º=90º).

    Ángulo suplementario
El ángulo suplementario es aquel con el que se forma un ángulo llano. Es decir, dos ángulos son suplementarios si su sumatoria es 180º (grados sexagesimales) o π radianes.


CARACTERÍSTICAS DE LOS TRIÁNGULOS (SEGÚN SUS LADOS)

Clasificación de triángulos según lados:
  • Triángulo equilátero
  • Triángulo isósceles
  • Triángulo escaleno
    Triángulo equilátero
El triángulo equilátero es aquel cuyos tres lados miden la misma longitud. Así, sus tres ángulos internos también son iguales y miden 60º.

Cabe señalar que el triángulo equilátero es a su vez acutángulo porque todos sus ángulos internos son agudos. Es decir, todos sus ángulos son menores que 90º.

Otro punto para señalar es que este tipo de triángulo es un polígono regular. Es decir, que tiene sus tres lados y sus tres ángulos internos iguales.

Elementos del triángulo equilátero
Los elementos del triángulo equilátero son los siguientes:

Vértices: A, B, C.
Lados: AB, BC, AC, cada uno de los cuales mide, a, b y c, respectivamente.
Ángulos interiores: ∝, β, γ. Todos suman 180º.
Ángulos exteriores: e, d, h. Cada uno es suplementario al ángulo interior del mismo lado. Es decir, se cumple que: 180º= ∝+d= β+e= γ+h
Si el triángulo es equilátero se cumple que a=b=c

Además ∝=β=γ=60º y a su vez e=d=h=120º

    Triángulo isósceles
El triángulo isósceles es aquel que tiene dos lados con la misma longitud. Asimismo, los dos ángulos que están frente a los lados iguales también miden lo mismo.

Este tipo de polígono es un caso particular dentro de los tipos de triángulo según la longitud de sus lados.

Vale recordar que un polígono es una figura geométrica bidimensional que se constituye de la unión de distintos puntos (que no formen parte de la misma línea) mediante segmentos de recta. De ese modo, se construye un espacio cerrado.

Elementos del triángulo isósceles
Los elementos del triángulo isósceles son los siguientes:

Vértices: A, B, C.
Lados: AB, BC, AC, cada uno de los cuales mide, a, b y c, respectivamente, siendo los dos lados iguales AB y BC. Entonces, a=b.
Ángulos interiores: x,y,z. Los tres suman 180º. Cabe notar que si a=b, entonces z=y.
Ángulos exteriores: u,v,w. Cada uno es suplementario al ángulo interior del mismo lado. Es decir, se cumple que: 180º= v+z=u+y= w+x.

    Triángulo escaleno
El triángulo escaleno es aquella figura geométrica de tres lados, cada uno de los cuales mide una longitud distinta.

Este tipo de polígono es un caso particular dentro de los tipos de triángulo según la longitud de sus lados.

Cabe recordar que un polígono es una figura geométrica bidimensional que se constituye de la unión de distintos puntos (que no formen parte de la misma línea) mediante segmentos de recta. De ese modo, se construye un espacio cerrado.

Otro punto para tomar en cuenta que este tipo de triángulo se consideraría todo lo contrario a un polígono regular, que es aquel cuyos lados miden lo mismo.

Elementos del triángulo escaleno
Los elementos del triángulo escaleno son los siguientes:

Vértices: A, B, C.
Lados: AB, BC, AC, cada uno de los cuales miden, a, b y c, respectivamente.
Ángulos interiores: x, y, z. Se cumple, como en todo triángulo, que suman 180º.
Ángulos exteriores: u, v, w Cada uno es suplementario al ángulo interior del mismo lado. Es decir, se cumple que: 180º = u + x = y + v = w + z

CARACTERÍSTICAS DE LOS TRIÁNGULOS(SEGÚN SUS ÁNGULOS)

Clasificación según sus ángulos:
  • Triángulo acutángulo: tiene los tres ángulos agudos.
  • Triángulo rectángulo: tiene un ánguo recto.
  • Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo obtuso.
Triángulo acutángulo  
El triángulo acutángulo es aquel cuyos tres ángulos interiores son agudos, es decir, miden menos que 90º.

Esta categoría de triángulo es un caso muy particular dentro de los tipos de triángulo según la medida de sus ángulos internos.

En este punto, vale recordar que el triángulo es un polígono, es decir, una figura geométrica bidimensional que se constituye de la unión de distintos puntos (que no formen parte de la misma línea) mediante segmentos de recta. De ese modo, se construye un espacio cerrado.

Elementos del triángulo acutángulo
Los elementos del triángulo acutángulo son los siguientes:

Vértices: A, B, C.
Lados: AB, BC, AC.
Ángulos interiores: ∝, β, γ. Todos suman 180º.
Ángulos exteriores: e, d, h. Cada uno es suplementario al ángulo interior del mismo lado. Es decir, se cumple que: 180º= ∝+d= β+e= h+γ. Lo anterior quiere decir que todos los ángulos exteriores son obtusos (mayores que 90º).

Triángulo rectángulo
El triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo interior que es recto, es decir, mide 90º.

Este tipo de triángulo es una de sus clasificaciones de acuerdo a la medida de sus ángulos interiores.

La principal característica del triángulo es que, como ampliaremos más adelante, tiene un lado de mayor longitud (llamado hipotenusa) y otros dos denominados catetos cuya unión forma el ángulo recto.

Elementos del triángulo rectángulo
El triángulo rectángulo tiene los siguientes elementos:

Vértices: A, B, C.
Lados: AB, BC, AC, donde AC es la hipotenusa y AB y BC son los catetos.
Ángulos interiores: 90º,β,γ. Los tres deben sumar 180º.
Ángulos exteriores: 90º,δ,ε.
Se debe cumplir lo siguiente: 90º+β+γ=180º, β+γ=90º


Triángulo obtusángulo 
El triángulo obtusángulo es aquel donde uno de sus ángulos interiores es obtuso, es decir, mayor que 90º. Asimismo, los otros dos ángulos son agudos, lo que significa que miden menos de 90º.

Este tipo de triángulo es un caso muy particular dentro de los tipos de triángulo según la medida de sus ángulos internos.

Cabe observar que el triángulo es un polígono que no puede tener más de un ángulo interior obtuso porque sus tres ángulos interiores deben sumar 180º. Entonces, si uno mide 91, por ejemplo, los otros dos deben sumar 89º.

En este punto, vale recordar que un polígono es una figura geométrica bidimensional que se constituye de la unión de distintos puntos (que no formen parte de la misma línea) mediante segmentos de recta. De ese modo, se construye un espacio cerrado.

Elementos del triángulo obtusángulo
Los elementos del triángulo obtusángulo son los siguientes:

Vértices: A, B, C.
Lados: AB, BC, AC.
Ángulos interiores: ∝, β, γ. Todos suman 180º.
Ángulos exteriores: e, d, h. Cada uno es suplementario al ángulo interior del mismo vértice. Es decir, se cumple que: 180º= ∝+d= β+e= h+γ. Lo anterior implica que dos de los ángulos exteriores son obtusos y uno es agudo (el que se corresponde con el ángulo interior obtuso). Si β mide 92º, por ejemplo, e mediría 88º.